Last modified: 2024.08.26

チェビシェフの不等式

ある確率変数 $X$ が平均 $μ$ ，分散 $σ^{2}$ の確率分布 $f (x)$ に従うとする．このとき，任意の正の実数 $a$ について成り立つ不等式：

\frac{1}{a^{2}} \geq P (| X - μ | \geq a σ)

をチェビシェフの不等式という．チェビシェフの不等式は分散や標準偏差が分布のばらつきの程度を示していることを数学的に記述したものである．

導出
解釈
参考文献

導出

分散の定義式の積分を3つの項に分解する：

\begin{aligned} σ^{2} & = \int_{- \infty}^{\infty} (x - μ)^{2} f (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{μ - a σ} (x - μ)^{2} f (x) d x + \int_{μ - a σ}^{μ + a σ} (x - μ)^{2} f (x) d x + \int_{μ + a σ}^{\infty} (x - μ)^{2} f (x) d x \end{aligned}

上式において第2項をゼロで置き換えると，以下の不等式が得られる：

σ^{2} \geq \int_{- \infty}^{μ - a σ} (x - μ)^{2} f (x) d x + \int_{μ + a σ}^{\infty} (x - μ)^{2} f (x) d x

ここで，確率密度関数の定義より $f (x) \geq 0$ ，区間 $(- \infty, μ - a σ]$ と $[μ + a σ, \infty)$ において $(X - μ)^{2} \geq a^{2} σ^{2}$ であるから，被積分関数 $(x - μ)^{2} f (x)$ をより小さい関数に置き換えると，

σ^{2} \geq \int_{- \infty}^{μ - a σ} a^{2} σ^{2} f (x) d x + \int_{μ + a σ}^{\infty} a^{2} σ^{2} f (x) d x

が得られる．これを更に変形すると，

\begin{aligned} σ^{2} & \geq \int_{- \infty}^{μ - a σ} a^{2} σ^{2} f (x) d x + \int_{μ + a σ}^{\infty} a^{2} σ^{2} f (x) d x \\ \geq a^{2} σ^{2} {\int_{- \infty}^{μ - a σ} f (x) d x + \int_{μ + a σ}^{\infty} f (x) d x} \\ \geq a^{2} σ^{2} {P (X \leq μ - a σ) + P (X \geq μ + a σ)} \\ \geq a^{2} σ^{2} P (| X - μ | \geq a σ) \end{aligned}

となる．ここで両辺を $a^{2} σ^{2}$ で割るとチェビシェフの不等式：

\frac{1}{a^{2}} \geq P (| X - μ | \geq a σ)

が得られる．

解釈

式そのままだが，チェビシェフの不等式は確率変数 $X$ が平均 $μ$ から $a σ$ 以上離れた値をとる確率が $\frac{1}{a^{2}}$ 以下であることを述べている．例えば $X$ の値が平均より $2 σ$ 以上離れている確率は $\frac{1}{4}$ 以下になる．

また，証明において確率分布の種類を前提にしていないことからわかる通り，どのような分布に対してもチェビシェフの不等式は成立する．

参考文献

薩摩順吉,『確率・統計 (理工系の数学入門コース 7)』, 岩波書店, 1989.